'결정적인' 아이디어 도출 과정

지하철로 하교하는 길이었다.
종이·펜 없이 머리로만 이리저리 시도하다 보니 실수를 범했다.
바로 n!과 '다른 무언가'를 비교하는 게 아닌 n^n과 '다른 무언가'를 비교하고 있었던 것이었다.
'어휴~한심아, 정신 차려!'라고 생각함과 동시에 n!과 n^n을 비교해 보기로 했다.
(지금 생각해보니 완전 어이없다.)
순식간에 n^n > n! for n > 1 이라는 결과를 얻고, 여기서 더 알아낼 수 있는 게 없는 것 같다고 생각하며 좌절한다.
이때 '근데, 이걸 어떻게 증명하지?'라는 의문이 들었고 나는 양변에 로그를 취했다.
(왜 그랬던 걸까? n·n···n > n·(n-1)···1 이 지극히 trivial 하나 당시의 나에게는 그렇게 느껴지지 않았었나 보다. -_-;;)
여하튼 양변에 로그를 취하고 n log n > log n! = log n + log (n-1) + ··· + log 2 + log 1 을 얻었다.
'이건 리만적분을 배우는 단계에서 했음 직한 건데?'라고 생각하며 int _{1} ^{n} {logx} dx 를 떠올렸다.
(당시에 '이건 리만적분...'이라고 생각했다는 확실한 보장은 없다. 하지만, 아마도 그랬을 것이라 조심스레 추측하는 바이다.)
그렇다. log n! 이 int _{1} ^{n} {logx} dx 의 upper sum (구간을 n-1등분) 이기 때문이다. (이를 먼저 떠올렸는지, 그렇지 않으면 '이건 리만적분...'을 먼저 떠올렸는지가 확실치 않다.)
또 int _{1} ^{n} {logx} dx = n log n - n + 1 = log n^{n} e^{-n} e 에서 n^{n} e^{-n} e LEQ n! 을 얻었다.
양변에 1/n 승을 하여 n e^-1 e^{1 over n} LEQ (n!)^{1 over n} 을 얻었다!!
근데 n e^-1 e^{1 over n} rarrow INF 이므로 (n!)^{1 over n} rarrow INF 이다!!

더 쉽고 아름다운 방법이 있겠지만 그만하고 싶다.
문제를 접하고 깔끔한(아니, 깔끔할지도 모르는...) 풀이를 얻기까지 몇 시간이 소요되었는가!!

[#M_outside story on the 'inside story on the proof'|왈!왈왈!|도서관에 앉아 있을 때는 머리가 아닌 손으로 문제를 풀려 했던 것 같다.
지하철에서 이 '결정적인(!)' 아이디어를 떠올린 점으로 미뤄 보아
문제가 안 풀릴 때는 잠시 펜과 종이를 치워보는 게 도움이 될지도 모르겠다는 생각을 해본다.